“Havia problemas a resolver” ou “haviam problemas a resolver”?

Já disse aqui que o verbo ‘haver’ é um eterno desmancha prazeres. Quando menos esperamos, lá vem ele a nos impor reflexões, quando não o retorno do estudo da gramática.
Nas frases-título deste comentário, o verbo haver está no pretérito imperfeito do indicativo, porque mostra um fato não concluído, que estava acontecendo (a existência de problemas) na dependência de um outro fato prestes a ocorrer (os problemas estavam para ser resolvidos). E como deverá ser conjugado: ‘havia problemas’ ou ‘haviam problemas’.
Regra básica: estando empregado com o sentido de existir, acontecer ou ocorrer, o verbo haver não sai do singular.
Nas frases, o havia é sinônimo de ‘existia’, e o haviam de ‘existiam’.
Conjugado o verbo no presente do indicativo, confirma-se melhor a tal regrinha: eu hei, tu hás, ele há, nós havemos (ou hemos), vós haveis (ou heis) e eles hão.
Assim há problemas a resolver e jamais ‘hão problemas a resolver’.
Ora, se no presente do indicativo se diz há problema, na terceira pessoa do singular, dir-se-á, também nessa mesma pessoa quando a frase verbal estiver no pretérito imperfeito havia problemas ou nos demais tempos e modos do verbo haver, sempre que com o sentido de ‘ocorrer’, ‘acontecer’, ou ‘existir’. Assim, haveria problemas (futuro do pretérito), que haja problemas (presente do subjuntivo), se houvesse problemas (imperfeito do subjuntivo), se houver problemas (futuro do subjuntivo), haja problemas (imperativo).
Continuemos com os ‘problemas’ e o ‘haver’.
Havia problemas que podiam ser ou havia problemas que podiam serem resolvidos?
‘Podiam ser’ e ‘podiam serem’ são locuções verbais, isto é, uma expressão formada por um verbo auxiliar ‘ser’ e um verbo principal ‘poder’.
As diversas formas verbais dividem-se em dois grupos: finitas (modos) e infinitas (formas nominais). São formas finitas todas aquelas que vêm sempre referidas a alguma das três pessoas verbais: eu (nós), tu (vós) e ele ou ela (eles ou elas). São formas infinitas aquelas que não definem a pessoa do discurso, como, por exemplo, o infinitivo (amar, resolver, fugir): o particípio (amado, resolvido, fugido) e o gerúndio (amando, resolvendo, fugindo).
Quando na locução verbal o sujeito for igual ou único, emprega-se o verbo auxiliar no infinitivo, flexionando-se o verbo principal: problemas que podiam ser resolvidos. Os erros não podem ser repetidos. As meninas devem ter recato. Os equipamentos devem estar limpos para o uso.
Se o correto é o verbo ser no infinitivo, a frase deve ser escrita ou lida desta maneira: havia problemas que podiam ser resolvidos.
As formas ou maneiras de uso do infinitivo impessoal não se esgotam com a regra acima. O emprego das formas flexionadas ou não flexionadas antes de submeter-se a regras gramaticais é muito mais uma questão de ordem estilística, como a clareza da expressão, o ritmo da frase ou a ênfase do enunciado.